Jika A adalah matriks m × n, maka ATA dan AAT memiliki nilai eigen bukan nol yang sama … Oleh karena itu Ax adalah vektor eigen dari AAT yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Argumen analog dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa setiap nilai eigen bukan nol dari AAT adalah nilai eigen dari ATA, sehingga melengkapi pembuktian.
Apakah nilai eigen dari AAT dan ATA sama?
Matriks AAT dan ATA memiliki nilai eigen bukan nol yang sama. Bagian 6.5 menunjukkan bahwa vektor eigen dari matriks simetris ini adalah ortogonal.
Apakah ATA sama dengan AAT?
Karena AAT dan ATA simetris nyata, mereka dapat didiagonalisasi dengan matriks ortogonal. Ini mengikuti dari pernyataan sebelumnya (karena kelipatan geometris & aljabar bertepatan) bahwa AAT dan ATA memiliki nilai eigen yang sama.
Apakah ATA memiliki nilai eigen yang berbeda?
Benar. Misalnya, jika A=1 2 3 2 4 1 3 1 5, maka persamaan karakteristik det(A λI)=25 15λ + 10λ2 3=0 tidak memiliki akar berulang. Oleh karena itu semua nilai eigen dari A berbeda dan A dapat didiagonalisasi. 3.35 Untuk sembarang matriks A, AtA selalu dapat didiagonalisasi.
Dapatkah eigenvector yang berbeda memiliki nilai eigen yang sama?
Dua vektor Eigen berbeda yang berkorespondensi dengan Nilai Eigen yang sama selalu bergantung linier. Dua vektor Eigen berbeda yang berkorespondensi dengan nilai Eigen yang sama selalu bergantung linier.
