Contoh: Cincin Z dari bilangan bulat Gaussian adalah modul Z yang dibangkitkan hingga, dan Z adalah Noetherian. Dengan Teorema sebelumnya, Z adalah ring Noetherian. Teorema: Cincin pecahan dari cincin Noetherian adalah Noetherian.
Apakah Z X cincin Noetherian?
Ring Z[X, 1 /X] adalah Noetherian karena isomorfik terhadap Z[X, Y]/(XY 1).
Mengapa Z Noetherian?
Tetapi hanya ada banyak ideal berhingga di Z yang mengandung I1 karena mereka sesuai dengan ideal ring hingga Z/(a) oleh Lemma 1.21. Oleh karena itu rantai tidak mungkin panjangnya tak terhingga, dan dengan demikian Z adalah Noetherian.
Apa itu domain Noetherian?
Segala ring ideal utama, seperti bilangan bulat, adalah Noetherian karena setiap ideal dibangkitkan oleh satu elemenIni termasuk domain ideal utama dan domain Euclidean. Domain Dedekind (misalnya, ring bilangan bulat) adalah domain Noetherian di mana setiap ideal dibangkitkan oleh paling banyak dua elemen.
Bagaimana cara membuktikan cincin adalah Noetherian?
Teorema A ring R adalah Noetherian jika dan hanya jika setiap himpunan ideal tak kosong dari R mengandung elemen maksimal Pembuktian ⇐=Misalkan I1 I2 ··· be rantai menaik dari cita-cita R. Put S={I1, I2, …}. Jika setiap himpunan ideal tak kosong berisi elemen maksimal maka S berisi elemen maksimal, katakan IN.
